Putnam 1994 A-1

$a_n$ を $a_n\le a_{2n} + a_{2n+1} (\forall n\in\mathbb{N})$ を満たす数列とする。
このとき $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が発散することを示せ。

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与えられた条件より、$a_1\le a_2+a_3\le (a_4+a_5)+(a_6+a7)\le …$ となる。
$b_1=a_1, b_2=a_2+a_3, b_3=a_4+a_5+a_6+a_7, b_4=…$ となる数列$b_m$ を以下の通り定義する。\[b_m=\sum_{i=2^{m-1}}^{2^m-1}a_i (\forall m\in\mathbb{N})\]
このとき、$b_m$ は単調増加数列であるため、以下を満たす。 \[\sum_{i=1}^t b_i = \sum_{i=1}^t\sum_{j=2^{i-1}}^{2^i-1}a_j=\sum_{i=1}^{2^t-1}a_i\ge tb_1=ta_1\] よって、$\lim_{t\to\infty}\sum_{i=1}^{2^t-1}a_i=\sum_{i=1}^\infty a_i$ は発散する。