非過剰数の和

Project Euler 23

完全数とは、当該数とその数の真の約数の和が一致する数のことである。例えば 28 の約数の和 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 となるため、28 は完全数である。

真の約数の和がその数に満たない数を不足数といい、超過する数を過剰数という。

12 は 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 となるため最小の超過数である。よって、2 つの過剰数の和のうち最小の数は 24 となる。数学的に 28123 より大きな整数は、2 つの過剰数の和で表現できることが証明されている。 しかし、2 つの過剰数の和で表すことのできない最大の数がこの上限値よりも小さいことは判明しているが、この上限値を減らすことができていない。

2 つの過剰数の和で表現できない正の整数の和を計算せよ。

---

28123 以上の整数はすべて過剰数の和で表現できるため、当該値までのリストを作成し、過剰数を事前に算出する。 なお、divisor は与えられた数の約数をリスト化する。

N = 28123

def create_list():
    l = [0 for i in range(N)]
    for i in range(1, N):
        # 過剰数の場合、リストの該当番目を True にする。
        if i < sum(divisor(i, True)):
            l[i] = 1
    return l

ここで作成したリストをもとに、与えられた数が過剰数であるか否かをチェックする。
まず、与えられた整数 $n$ に対して、最小過剰数 $12$ から $n/2$ までの過剰数を確認する。この範囲内で過剰数 $i$ が存在する場合、$n-i$ が過剰数か否かをリストをもとに確認する。
なお、チェックの上限が $n/2$ となっているのは、$n/2$ より大きな2つの数の和は $n$ を超過するためである。

MIN_ABUNDANT = 12

def check(n, l):
    for i in range(MIN_ABUNDANT, int(n/2)+1):
        if l[i] == 0:
            continue
        if l[n-i] == 1:
            return True
    return False

これらを組み合わせて、非過剰数の和を算出する。なお、23 までは 2 つの過剰数の和で表現できないことが判明しているため、予め総和を計算しておく。

ans = sum([i for i in range(MIN_ABUNDANT*2)])
l = create_list()
for n in range(MIN_ABUNDANT*2, N):
    if check(n, l) is False:
        ans += n
print("Answer = ", ans)
print("processing time : ", time.clock() - start)

名前のスコア

Project Euler 22

46kバイトの5000以上のファーストネームが書かれたnames.txt（右クリックで「名前を付けてリンク先を保存」を選択）に対して、まず、アルファベット順にソートする。
次に各名前に対してアルファベット値を振り出し、リスト上の該当名の位置順と掛け合わせる。

例えば、COLIN のアルファベット値は $3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53$ であるが、ソートされたリスト上での当該名は 938 番目である。よって、COLIN のストアは、$938\times53 = 49714$ である。

ファイル内のすべての名前のスコアの合計値を算出せよ

---

CSVファイルであるため csvモジュールを利用してもよいが、高々1行のファイルに不向きなように思える。
そこで " 記号を削除したのち、, 記号で分割した。

import time
FILENAME = "p022_names.txt"

start = time.clock()
s = ctr = 0
with open(FILENAME, "r") as fo:
    for x in sorted(fo.readline().replace('"', '').split(",")):
        ctr += 1
        for c in x:
            s += ctr * (ord(c) - ord('A') + 1)
print(s)
print("processing time : ", time.clock() - start)

友愛数

Project Euler 21

$d(n)$ を $n$ の真の約数の和とする（$n$ の真の約数とは、$n$ 以外で $n$ を割り切る数とする）。
$d(a) = b$ であり $d(b) = a$（ただし $a\neq b$）を満たすとき、$a$ と $b$ を友愛数と呼ぶ。

たとえば $220$ の真の約数は、$1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55$ そして $110$ である。それゆえ $d(220) = 284$ となる。また、$284$ の真の約数は、$1, 2, 4, 71, 142$ であり、$d(284) = 220$ である。

$1000$ 未満の友愛数の和を求めよ。

---

先日定義した素因数分解の関数 factorize を利用し、約数取得用の関数を作成する。

def __divisor__(p, q):
    x = []
    for i in range(q+1):
        x.append(p**i)
    return x


def divisor(n, proper=False):
    xs = factorize(n)
    xl = __divisor__(xs[0][0], xs[0][1])
    for p, q in xs[1:]:
        xl = [x*y for x in __divisor__(p, q) for y in xl]
    if proper is True:
        xl.remove(n)
    return sorted(xl)

divisor の引数 proper に True を与えると、真の約数（自分自身を含まない約数）を取得できるようにしてある。
これを用いて友愛数をリスト化し、その後、リスト内の数値を加算する。

import time

start = time.clock()

N = 10000
amicable_nums = []


for i in range(1, N+1):
    d = sum(divisor(i, proper=True))
    if d <= i:
        continue
    if sum(divisor(d, proper=True)) == i:
        amicable_nums.extend([i, d])

print(int(sum(amicable_nums)))
print("processing time : ", time.clock() - start)

階乗の桁の和

Project Euler 20

$n!$ は、$n\times (n-1)\times … \times 2\times 1$ ということを表す。

たとえば、$10! = 10\times 9\times … \times 3\times 2\times 1 = 3628800$ となり、$10!$ の各桁の和は、$3+6+2+8+0+0=27$ である。

$100!$ の各桁の和は？

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特に難しい処理は必要なく、内包表記を使えば 1 行で処理できる。

import math
print sum([int(x) for x in str(math.factorial(100))])

日曜日の数

Project Euler 19

以下の情報が与えられている。

• 1900年 1月 1日は月曜日である。
• 9月、4月、6月、11月は30日まであり、2月を除く残りの月は31日までである。
  2月は28日までであるが、うるう年の場合は29日までである。
• うるう年は4で割り切れる年であるが、100で割り切れ400で割り切れない年は除く。

20世紀の間（すなわち1901年 1月 1日から2000年12月31日まで）、月の最初が日曜日になるのはどれだけか？

---

calender.monthrange 関数は、与えられた年月の1日の曜日と日数を返す関数である。

import calendar
import time
from calendar import January

START_YEAR = 1901
END_YEAR = 2000

start = time.clock()

c = 0
for y in range(START_YEAR, END_YEAR + 1):
    for m in range(January, January + 12):
        if calendar.monthrange(y, m)[0] == 6:
            c += 1
print c

print "processing time : ", time.clock() - start

最大経路和（１）

Project Euler 18

以下の三角形の頂上から始まり、当該数に接する下の行に移動するとき、頂点から底辺までの最大和は 23 となる。

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

すなわち、3 + 7 + 4 + 9 = 23 である。
以下の三角形の頂点から底辺までの最大和を求めよ。

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

---

たとえば、左隅の三角形

63
04 62

の場合、63 + 4 よりも 63 + 62 のほうが大きい。上段の値に下段の 2 つの値の大きいほうを加算し、新たな行を生成する。
上の三角形の場合、14 段目の値を 125 164 102 95 … とする。
これを繰り返すことにより、最上段の値が 最大経路和になる。

まず、与えられた三角形を行ごとのリスト形式で管理する。
なお、便宜上、三角形を逆転させておく。

triangle = [
            [75],
            [95, 64],
            [17, 47, 82],
            [18, 35, 87, 10],
            [20, 4, 82, 47, 65],
            [19, 1, 23, 75, 3, 34],
            [88, 2, 77, 73, 7, 63, 67],
            [99, 65, 4, 28, 6, 16, 70, 92],
            [41, 41, 26, 56, 83, 40, 80, 70, 33],
            [41, 48, 72, 33, 47, 32, 37, 16, 94, 29],
            [53, 71, 44, 65, 25, 43, 91, 52, 97, 51, 14],
            [70, 11, 33, 28, 77, 73, 17, 78, 39, 68, 17, 57],
            [91, 71, 52, 38, 17, 14, 91, 43, 58, 50, 27, 29, 48],
            [63, 66, 4, 68, 89, 53, 67, 30, 73, 16, 69, 87, 40, 31],
            [4, 62, 98, 27, 23, 9, 70, 98, 73, 93, 38, 53, 60, 4, 23]
            ]
r_triangle = sorted(triangle, key=len, reverse=True)

先ほどの考えに従い三角形のリストを直接更新してもよいのだが、実際の経路を把握するため計算結果格納用リストを別に作成する。
計算対象の段の一段下（逆転した三角形の場合、一段上）のリストを buf とする。計算する前に三角形の底辺（逆転した三角形の上辺）により buf を初期化する。
また、途中までの経路を記録するための辞書 d（Key は 当該経路までの合計値）を初期化する。

buf = list(r_triangle[0])
d = {}

逆転した三角形の上から２段目より順番に計算する。

前段までの計算結果 buf を old_buf へ退避し、buf を初期化する。合わせて、途中継経路 d も old_d へ退避／初期化する。
該当段（r_triangle[i]）の左端値より順番に計算する。

当該値に接する前段までの計算結果 old_buf[j], old_buf[j+1] を比較し、大きいほうの値に該当段の値を加えて buf[j] へ格納する。
経路を記録するため、前回までの経路リストの先頭に当該値を追加する。

i = 1
while i < len(r_triangle):
    # buf および d を退避／初期化する。
    old_buf = list(buf)
    old_d = copy.deepcopy(d)
    d = {}
    buf = []

    j = 0
    while j < len(r_triangle[i]):
        m = max(old_buf[j], old_buf[j+1])
        buf[j] = r_triangle[i][j] + m
        try:
            d[buf[j]] = list(old_d[m])
            d[buf[j]].insert(0, r_triangle[i][j])
        except KeyError:
            d[buf[j]] = [r_triangle[i][j], m]
        j += 1
    i += 1

print d

数字の長さ

Project Euler 17

1 から 5 までを文字で書いてみる。one, two, three, four, five であり、これらの文字数の合計は 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 文字になる。
1 から 1000 (one thousand) を文字で書いた場合、どれだけの文字数になるか？

注記: 空白やハイフンは文字数に含めない。例えば 342 (three hundred and fourty-two) の文字数は 23 であり、115 (one hundred and fifteen) は 20 文字である。なお and の利用は英国式に準拠する。

---

まず指定桁の数を取得する関数 get_digit を以下の通り定義する。

def get_digit(n, c):
    return [int(x) for x in str(n)][c]

また、数値に対応する文字を定義する。
このとき、すべての文字を定義するのではなく、組み合わせで表現できる数を定義する。

c0 = {
  0: "",
  1: "one", 2: "two", 3: "three", 4: "four", 5: "five",
  6: "six", 7: "seven", 8: "eight", 9: "nine", 10: "ten",
  11: "eleven", 12: "twelve", 13: "thirteen", 14: "fourteen", 15: "fifteen",
  16: "sixteen", 17: "seventeen", 18: "eighteen", 19: "nineteen"
  }
c1 = {2: "twenty", 3: "thirty", 4: "forty", 5: "fifty",
      6: "sixty", 7: "seventy", 8: "eighty", 9: "ninety"}

さて、これらを利用して 1 から順番に文字列を生成する。
なお 100 桁の場合、101 や 211 などは、one hundred and one や two hundred and eleven といったように「and」を追加する必要がある。そこで、100 桁の数値の場合、10 桁部の有無により処理を分岐している。

for i in range(1, N+1):
    j = i
    if j >= 1000:
        c = get_digit(j, 0)
        s += c0[c]
        s += "thousand"
        j -= c*1000
        if j == 0:
            continue

    if j >= 100:
        c = get_digit(j, 0)
        s += c0[c]
        s += "hundred"
        j -= c*100
        if j == 0:
            continue
        s += "and"

    if j >= 20:
        c = get_digit(j, 0)
        s += c1[c]
        j -= c*10
        if j == 0:
            continue

    s += c0[j]

べき乗の桁の合計

Project Euler 16

$2^{15}=32768$ であり、各桁の合計は $3+2+7+6+8=26$ である。
では、$2^{1000}$ の各桁の合計は？

---

Python の場合、内包表記を使うと1行で計算できる。

print sum(int(x) for x in str(pow(2, 1000)))

格子上の経路

Project Euler 15

2$\times$2 マスの左上隅からスタートし、右方向および下方向にしか移動できない場合、右下隅への行き方は6通りである。

20$\times$20 の場合、何通りあるか？

---

どのような通り方をしても、40 回のうち右方向および下方向に 20 回移動しなければならない。
よって、組み合わせ ${}_{40}C_{20}$ により計算できる。

組み合わせ ${}_mC_n$ は 順列 ${}_mP_n$ により ${}_mC_n = \frac{{}_mP_n}{n!}$ となることから、順列／組み合わせ関数を以下のように定義して計算すればよい。

def permutations(n, c=None):
    x = math.factorial(n)
    if c is not None:
        if c < 1:
            raise ValueError
        x = x/math.factorial(n-c)
    return x


def combinations(n, c):
    return permutations(n, c)/permutations(c)

最も長いCollatz列

Project Euler 14

正の整数に対して、以下の繰り返しで生成される数列を定義する。

n → n/2 (n が偶数)
n → 3n + 1 (n が奇数)

この規則に従い 13 から始めると、以下の数列が生成される。

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

この数列（13 から始まり 1 で終わる）は、10項で構成される。しかし、どのような数から開始しても必ず 1 になるということ（Collatzの問題）は未だ証明されていない。

100万未満の数字のうち、最も長い数列を生成するのはどれか？

Note: 項の途中で100万以上になってもよい。

---

$n\in\mathbb{N}$ に対して collatz($n$) で上記の計算結果が得られるものとする。

def collatz(n):
    if n % 2 == 0:
        return n/2
    return 3*n+1

上の例では、1 = collatz(2) = collatz(collatz(4)) = collatz(collatz(collatz(8))) = ･･･ = collatz(collatz(･･･(collatz(13))･･･)) となる。
このとき、13 から始まる collatz 数列の項数は、collatz(13) = 40 から始まる数列の項数に 1 を加えたものであることは自明であり、また、一般性を失わない。

そこで、$n$ の場合の collatz 数列の項数を length[n] として管理すると、length[n] = length[collatz(n)] + 1 となる。
計算量を低減させるため、一度計算した length[n] をそのまま保持することとする。
なお、計算結果の上限が不明であるため、length はリストではなく辞書形式とする。

def get_length(length, n):
    c = collatz(n)
    if c not in length:
        length = get_length(length, c)
    length[n] = length[c] + 1
    return length

length = {1: 1}
max_key = 0
max_value = 0
for i in range(2, 1000000):
    length = get_length(length, i)
    if max_value < length[i]:
        max_value = length[i]
        max_key = i
print max_key, max_value

大きな数の和

Project Euler 13

以下の100個の50桁の数字に対して、1和の先頭10桁を計算せよ。

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
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---

Python の場合、何も考えずに計算できる。

import time

start = time.clock()

n = [
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    87783646182799346313767754307809363333018982642090,
    10848802521674670883215120185883543223812876952786,
    71329612474782464538636993009049310363619763878039,
    62184073572399794223406235393808339651327408011116,
    66627891981488087797941876876144230030984490851411,
    60661826293682836764744779239180335110989069790714,
    85786944089552990653640447425576083659976645795096,
    66024396409905389607120198219976047599490197230297,
    64913982680032973156037120041377903785566085089252,
    16730939319872750275468906903707539413042652315011,
    94809377245048795150954100921645863754710598436791,
    78639167021187492431995700641917969777599028300699,
    15368713711936614952811305876380278410754449733078,
    40789923115535562561142322423255033685442488917353,
    44889911501440648020369068063960672322193204149535,
    41503128880339536053299340368006977710650566631954,
    81234880673210146739058568557934581403627822703280,
    82616570773948327592232845941706525094512325230608,
    22918802058777319719839450180888072429661980811197,
    77158542502016545090413245809786882778948721859617,
    72107838435069186155435662884062257473692284509516,
    20849603980134001723930671666823555245252804609722,
    53503534226472524250874054075591789781264330331690]

print int(str(sum(n))[:10])
print "processing time : ", time.clock() - start

数多く割り切れる三角数

Project Euler 12

三角数の数列は、自然数を加算して生成されるものである。7番目の三角数は $1+2+3+4+5+6+7=28$ である。最初の $10$ 項は、以下の通りとなる。 \[1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ･･･\] 最初の $7$ 項の約数を列挙する。

 1:1
 3:1,3
 6:1,2,3,6
10:1,2,5,10
15:1,3,5,15
21:1,3,7,21
28:1,2,4,7,14,28

$28$ は約数の数が $5$ を超える最初の三角数である。
最初に約数の数が $500$ を超える三角数はいくつか？

---

ある自然数 $n$ に対して、素因数分解を $n = p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times … \times p_n^{e_n}$ としたとき、$n$ の約数の個数は $(e_1+1)\times(e_2+1)\times … \times(e_n+1)$ となる。
そこで、まず素因数分解用の関数を作成する。

def get_prime():
    yield 2
    prime_list = [2]
    i = 3
    while True:
        for p in prime_list:
            if i % p == 0:
                break
        else:
            prime_list.append(i)
            yield i
        i += 2

def factorize(n):
    l = []
    for i in get_prime():
        if i*i > n:
            break
        x = 0
        while n % i == 0:
            x += 1
            n /= i
        if x != 0:
            l.append((i, x))
    if n != 1:
        l.append((n, 1))
    return l

factorize は 自然数 $n$ を素因数分解し、(素因数, べき乗数) のリストを返す。
これを利用して、約数の個数を得る関数を作成する。

def get_numof_divisor(n):
    r = 1
    for fc in factorize(n):
        r *= fc[1] + 1
    return r

get_numof_division 関数は factorize 関数で得られるべき乗数を用いて、約数の個数を算出する。
これらを用いて、約数の個数が $500$ を超過する三角数を算出する。

def triangular_number(n):
    return n * (n+1) / 2


t = triangular_number(1)
r = get_numof_divisor(t)
while r < 500:
    print t, r
    i += 1
    t = triangular_number(i)
    r = get_numof_divisor(t)
print t, r

グリッド内の最大の積

Project Euler 11

以下のような $20\times 20$ のグリッドにおいて、赤く塗った対角線上の4つの数字がある。

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

これらの積は $26\times 63\times 78\times 14 = 1788696$ である。

この $20\times 20$ のグリッドの中で、縦・横・ななめの同一方向の4つの数の最大の積は何か？

---

例外を活用して単純にやってみた。

# SAMPLE_1

grid = (("08", "02", "22", "97", "38", "15", "00", "40", "00", "75",
         "04", "05", "07", "78", "52", "12", "50", "77", "91", "08"),
        ("49", "49", "99", "40", "17", "81", "18", "57", "60", "87",
         "17", "40", "98", "43", "69", "48", "04", "56", "62", "00"),
        ("81", "49", "31", "73", "55", "79", "14", "29", "93", "71",
         "40", "67", "53", "88", "30", "03", "49", "13", "36", "65"),
        ("52", "70", "95", "23", "04", "60", "11", "42", "69", "24",
         "68", "56", "01", "32", "56", "71", "37", "02", "36", "91"),
        ("22", "31", "16", "71", "51", "67", "63", "89", "41", "92",
         "36", "54", "22", "40", "40", "28", "66", "33", "13", "80"),
        ("24", "47", "32", "60", "99", "03", "45", "02", "44", "75",
         "33", "53", "78", "36", "84", "20", "35", "17", "12", "50"),
        ("32", "98", "81", "28", "64", "23", "67", "10", "26", "38",
         "40", "67", "59", "54", "70", "66", "18", "38", "64", "70"),
        ("67", "26", "20", "68", "02", "62", "12", "20", "95", "63",
         "94", "39", "63", "08", "40", "91", "66", "49", "94", "21"),
        ("24", "55", "58", "05", "66", "73", "99", "26", "97", "17",
         "78", "78", "96", "83", "14", "88", "34", "89", "63", "72"),
        ("21", "36", "23", "09", "75", "00", "76", "44", "20", "45",
         "35", "14", "00", "61", "33", "97", "34", "31", "33", "95"),
        ("78", "17", "53", "28", "22", "75", "31", "67", "15", "94",
         "03", "80", "04", "62", "16", "14", "09", "53", "56", "92"),
        ("16", "39", "05", "42", "96", "35", "31", "47", "55", "58",
         "88", "24", "00", "17", "54", "24", "36", "29", "85", "57"),
        ("86", "56", "00", "48", "35", "71", "89", "07", "05", "44",
         "44", "37", "44", "60", "21", "58", "51", "54", "17", "58"),
        ("19", "80", "81", "68", "05", "94", "47", "69", "28", "73",
         "92", "13", "86", "52", "17", "77", "04", "89", "55", "40"),
        ("04", "52", "08", "83", "97", "35", "99", "16", "07", "97",
         "57", "32", "16", "26", "26", "79", "33", "27", "98", "66"),
        ("88", "36", "68", "87", "57", "62", "20", "72", "03", "46",
         "33", "67", "46", "55", "12", "32", "63", "93", "53", "69"),
        ("04", "42", "16", "73", "38", "25", "39", "11", "24", "94",
         "72", "18", "08", "46", "29", "32", "40", "62", "76", "36"),
        ("20", "69", "36", "41", "72", "30", "23", "88", "34", "62",
         "99", "69", "82", "67", "59", "85", "74", "04", "36", "16"),
        ("20", "73", "35", "29", "78", "31", "90", "01", "74", "31",
         "49", "71", "48", "86", "81", "16", "23", "57", "05", "54"),
        ("01", "70", "54", "71", "83", "51", "54", "69", "16", "92",
         "33", "48", "61", "43", "52", "01", "89", "19", "67", "48"))


def f(t1, t2, t3, t4, m):
    t = t1*t2*t3*t4
    if m < t:
        m = t
    return m

m = 0
x = len(grid[0])
y = len(grid)

for j in range(y):
    for i in range(x):
        try:
            m = f(int(grid[j][i]),
                  int(grid[j][i+1]),
                  int(grid[j][i+2]),
                  int(grid[j][i+3]),
                  m)
        except IndexError:
            pass
        try:
            m = f(int(grid[j][i]),
                  int(grid[j+1][i+1]),
                  int(grid[j+2][i+2]),
                  int(grid[j+3][i+3]),
                  m)
        except IndexError:
            pass
        try:
            m = f(int(grid[j][i]),
                  int(grid[j+1][i-1]),
                  int(grid[j+2][i-2]),
                  int(grid[j+3][i-3]),
                  m)
        except IndexError:
            pass
        try:
            m = f(int(grid[j][i]),
                  int(grid[j+1][i]),
                  int(grid[j+2][i]),
                  int(grid[j+3][i]),
                  m)
        except IndexError:
            pass
print m

素数の和

Project Euler 10

$10$ 以下の素数の和は、$2+3+5+7=17$ である。
$2000000$ 以下の素数の和を計算せよ。

---

まずは力づくでやってみた。

素数を格納するためのリストを生成し、$2000000$ までの数（以下、$x$）を順番に素数リスト内の数で割ってみる。
余りなく割ることができれば合成数と判定し、どの素数でも割り切ることができなければ、$x$ を素数として素数リストへ追加する。
なお、計算時間を低減するため、素数リストの値が $\sqrt{x}$ を超えた場合、該当の数を素数と判定する。

# SAMPLE_1

from math import sqrt


N = 2000000
prime_list = [2]
x = 3
s = 2

while (x <= N):
    for j in prime_list:
        if j > int(sqrt(x)) + 1:
            prime_list.append(x)
            s += x
            break
        if x % j == 0:
            break
    else:
        prime_list.append(x)
        s += x
    x += 2
print s

次にエラトステネスの篩を使ってみた。
素数リストとして、$x$ 番目が $1$ の場合は素数、$0$ の場合は合成数となるものを作成する。

まず、素数リストをすべて $1$ で初期化する。
次に $2$ から順番に、当該数の倍数の素数リストを $0$ にしていく。この際、対象数が既に合成数と判定されている場合は無視する。

# SAMPLE_2

N = 2000000

l = [1 for _ in range(N+1)]
l[0] = l[1] = 0

s = 0
for x in range(2, N+1):
    if l[x] == 0:
        continue
    s += x
    for j in range(2*x, N+1, x):
        l[j] = 0
print s

実際にやってみると、圧倒的に後者のほうが処理時間が短い。

特殊なピタゴラスの三つ組み数

Project Euler 9

ピタゴラスの三つ組み数とは、自然数 $a < b < c$ のうち \[a^2 + b^2 + c^2\] を満たすものをいう。
例えば、$3^2+4^2=9+16=25=5^2$等のようなものである。

ピタゴラスの三つ組み数のうち、$a + b + c = 1000$ となるものが一つ存在している。
このときの $abc$ を計算せよ。

---

$a^2 + b^2 = c^2$ となるため、$a, b < c$ は自明である。（もし $b\geq c$ ならば、$b^2\geq c^2$ であり、$a^2 + b^2 > c^2$ となる。）
$a < b$ であること、かつ、可換則に留意すると次のようになる。

# SAMPLE_1

N = 1000

for a in xrange(1, N+1):
    for b in xrange(a, N-a):
        c = N - a - b
        a_2 = a**2
        b_2 = b**2
        c_2 = c**2
        if c_2 == a_2 + b_2:
            print "a = %d, b = %d, c = %d, abc = %d" % (a, b, c, a*b*c)

数列中での最大の積

Project Euler 8

次の1000桁の中で隣り合う4つの整数の積のうち最大の値は、$9\times 9\times 8\times 9 = 5832$ である。

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

では、1000桁の中で隣り合う数の積が最大になる13桁の数は何か？
また、その値は？

---

先頭から13桁を取得し、1桁ずつ乗算する。
なお、計算量を削減するため、数字の中に「0」が含まれる場合は乗算を中止する。

# SAMPLE_1

N = 13
max_num = 0
max_str = ""

s = "73167176531330624919225119674426574742355349194934" \
    "96983520312774506326239578318016984801869478851843" \
    "85861560789112949495459501737958331952853208805511" \
    "12540698747158523863050715693290963295227443043557" \
    "66896648950445244523161731856403098711121722383113" \
    "62229893423380308135336276614282806444486645238749" \
    "30358907296290491560440772390713810515859307960866" \
    "70172427121883998797908792274921901699720888093776" \
    "65727333001053367881220235421809751254540594752243" \
    "52584907711670556013604839586446706324415722155397" \
    "53697817977846174064955149290862569321978468622482" \
    "83972241375657056057490261407972968652414535100474" \
    "82166370484403199890008895243450658541227588666881" \
    "16427171479924442928230863465674813919123162824586" \
    "17866458359124566529476545682848912883142607690042" \
    "24219022671055626321111109370544217506941658960408" \
    "07198403850962455444362981230987879927244284909188" \
    "84580156166097919133875499200524063689912560717606" \
    "05886116467109405077541002256983155200055935729725" \
    "71636269561882670428252483600823257530420752963450" \



def prod(sx):
    x = 1
    if "0" in sx:
        return 0
    for i in range(len(sx)):
        x *= int(sx[i])
    return x

x_str = s[:N-1]
for i in xrange(N-1, len(s)):
    x_str += s[i]
    x = prod(x_str)
    if max_num < x:
        max_num = x
        max_str = x_str
        print max_num, max_str
    x_str = x_str[1:]

10001番目の素数

Project Euler 7

2, 3, 5, 7, 11 そして 13 が先頭から 6 つの素数であり、13 が 6 番目の素数である。
10001番目の素数は何？

---

エラトステネスの篩を用いて算出する。
素数リストを作成し、3以上の自然数（i）を順番に除算し、割り切れた場合は合成数と判定する。
なお、素数リストの $\lfloor\sqrt{i}\rfloor + 1$ まで割り切れない場合、当該自然数は素数となることに着目し、計算量を大幅に削減している。

# SAMPLE_1

from math import sqrt
N = 10001

prime_list = [2]
i = 3
while(len(prime_list) < N):
    for j in prime_list:
        if j > int(sqrt(i)) + 1:
            prime_list.append(i)
            break
        if i % j == 0:
            break
    else:
        prime_list.append(i)
    i += 2
print sorted(prime_list, reverse=True)[0]

和の二乗差

Project Euler 6

1 から 10 までを二乗した和は \[1^2 + 2^2 + ･･･ + 9^2 + 10^2 = 385\] また、1 から 10 までの和を二乗した値は \[(1 + 2 + ･･･ + 9 + 10)^2 = 55^2 = 3025\] したがって、1 から 10 までの和を二乗した値と 1 から 10 までを二乗した和の差は、3025 - 385 = 2640 となる。
1 から 100 までの和を二乗した値と 1 から 100 までを二乗した和の差は？

---

もっとも単純にコーディングすると、以下の通りとなる。

# SAMPLE_1

N = 100

s = 0
p = 0
for i in range(1, N + 1):
    s += i ** 2
    p += i
print p ** 2 - s

一方、$(x + y)^2 - (x^2 + y^2)= x^2 + y^2 + 2xy - x^2 - y^2 = 2xy$ となるため、$(\sum x_n)^2 - \sum x_n^2 = \sum_{i\neq j}2x_ix_j$ である。
これを応用すると、累乗の計算が不要になる。

# SAMPLE_2

N = 100

ans = 0
for i in range(1, N + 1):
    for j in range(i + 1, N + 1):
        ans += 2 * i * j
print ans

しかし、最も単純なのは、数列の和の公式を利用することであろう。 \[1 + 2 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}\] \[1^2 + 2^2 + … + n^2 = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}\] これらを用いると、以下のようにコーディングできる。

# SAMPLE_3

N = 100
x = N * (N + 1) / 2
y = N * (2 * N + 1) * (N + 1) / 6
print x ** 2 - y

最小公約数

Project Euler 5

2520 は 1 から 10 までの数で割り切ることができる最小の数である。
1 から 20 までの数で割り切ることができる最小の値は何か？

---

もっとも単純なのがユークリッドの互除法を用いて最小公倍数を求める方法である。
x, y の最小公倍数は、最大公約数 L を用いて、x $\times$ y / $\lfloor$L$\rfloor$ で算出することができる。

# SAMPLE_1


def gcd(x, y):
    if y != 0:
        return gcd(y, x % y)
    return x


def lcm(x, y):
    return (x * y) // gcd(x, y)

N = 20

ans = 1
for n in range(2, N + 1):
    ans = lcm(ans, n)
print ans

また、Project Euler 3と同様、素因数分解する方法でも算出してみた。
各素数のべき乗数の最大値を集約し計算する。

# SAMPLE_2
from math import sqrt


def f(x, n):
    r = 0
    while x % n == 0:
        x /= n
        r += 1
    return x, r


def integer_factorization(n):
    ans = {}
    n0 = n

    n0, r = f(n0, 2)
    if r != 0:
        ans[2] = r

    i = 3
    while(i < int(sqrt(n)) + 1):
        n0, r = f(n0, i)
        if r != 0:
            ans[i] = r
        i += 2
    if n0 != 0:
        ans[n0] = 1
    return ans

N = 20
ans = {}
for i in range(2, N + 1):
    dic = integer_factorization(i)
    for j in dic.keys():
        try:
            ans[j] = max(ans[j], dic[j])
        except KeyError:
            ans[j] = dic[j]

r = 1
for i in ans.keys():
    r *= i ** ans[i]
print r

3桁の積で作られる最大の回文数

Project Euler 4

回文数とは左右の両端のどちらから読んでも同じ値になる数のことである。2桁の整数の積で作られる最大の回文数は、9009 = 91$\times$99 である。
では、3桁の整数の積で作られる最大の回文数は？

---

与えられた数値を文字列に変換し、左右反転したものとオリジナルを比較すれば容易に回文数であることを確認できる。
なお計算量を低減するため、積の可換則を考慮してある。

# SAMPLE_1


def is_palindromic_number(n):
    s = str(n)
    if s == s[::-1]:
        return True
    return False

ans = 0
for i in xrange(100, 1000):
    for j in xrange(i, 1000):
        x = i * j
        if is_palindromic_number(x) is True:
            if ans < x:
                ans = x
print ans