Putnam 1994 A-2

$A$ を $y = \frac{1}{2}x$, $x$ 軸 および 楕円 $\frac{1}{9}x^2+y^2=1$ で囲まれた第1象限の領域とする。
$y = mx$, $y$ 軸 および $\frac{1}{9}x^2+y^2=1$ で囲まれた第1象限の領域の面積が $A$ の面積と一致するような正数 $m$ を求めよ。

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$x_1 = \frac{1}{3}x$, $y_1 = y$ とする。この線形変換により、楕円 $\frac{1}{9}x^2+y^2=1$ は 円 $x_1^2+y_1^2=1$ と変換され、また直線 $y = \frac{1}{2}x$ は 直線 $y_1 = \frac{3}{2}x_1$ に変換される。
この線形変換によって変換された領域を $A'$ とする。

ここで、直線 $y_1 = \frac{3}{2}x_1$ が直線 $y_1 = x_1$ に対して線対称となる直線 $y_1 = \frac{2}{3}x_1$ を考える。
直線 $y_1 = \frac{2}{3}x_1$ と 円 $x_1^2+y_1^2=1$、そして $y$ 軸で囲まれた領域 $A''$ は 領域 $A'$ と同じ面積になる。

線形変換による面積の拡大率は $A'$、$A''$ とも同じである。 したがって、直線 $y_1 = \frac{2}{3}x_1$ に対して、線形変換前の元の直線は $y = \frac{2}{9}x$ となるため、$m = \frac{2}{9}$ である。