1からNまで繋げた回文

例えば $1234567891011･･･$ といったように $1$ から 順番に数字を繋げて文字を作る。
いくつまで数字を結合すれば回文になるか？

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$N> 0$ とし、$1234･･･N$ を回文と仮定する。
$N$ の桁数を $k$ とした場合、$10^{k-1} \leq N < 10^k$ となる。
このとき $10^{k-1} = 100･･･00\leq N$ は、$0$ が $k-1$ 個続く回文を構成する数字の中で最も $0$ が連続する数の一つとなる。
$10^{k-1}$ と $10^{k-1}+1$ が結合した数字 $100･･･00100･･･01$ を考える。

$0$ で始まる数字は存在せず、また、回文であっても最大桁数は $k$ であるため、100･･･00 と 00･･･001 が回文の真ん中の値の候補の一つになる。
（候補の一つ、と言ったのは、$N$ よりも小さな値であれば $2\times 10^{k-1}$ や $3\times 10^{k-1}$ も候補になり得るため）

しかし、真ん中の値である $x\times 10^{k-1}$ の左右は $99･･･99$ と $00･･･01$ であるため、回文になりえない。