最小値

$0<u<\sqrt{2}, v>0$ の場合、以下の式の最小値は？

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平面図上の点 $A: (u, \sqrt{2-u^2})$ および点 $B: (v, 9/v)$を考える。
問いの式は $AB$ 間の距離の最小値の2乗と考えることができる。

$0<u<\sqrt{2}$ 上の任意の値を $u_1$ とし、点 $A$ の $y$ 座標を $u_2$ とした場合、$u_2 = \sqrt{2-u_1}\Rightarrow u_1^2 + u_2^2 = 2$ となる。
これは $(u_1, u_2)$ が原点を中心とした半径 $\sqrt{2}$ 上の円周上（ただし第1象限上のみ）に存在していることを示している。

また、$v>0$ 上の任意の値を $v_1$ とし、点 $B$ の $y$ 座標を $v_2$ とすると、$v_1v_2 = 9$ となる。
反比例のグラフになるが、このグラフは $(0, 0), (3, 0), (0, 3), (3, 3)$ を頂角とする1辺が $3$ となる正方形の頂角を通り、かつ、$(3, 3)$ でのみ接する。

点 $A$ は上の正方形の内側になるため、点 $A$ と点 $B$ の距離が最も短くなるのは、原点と $(3, 3)$ を結ぶ直線上に各々の点が存在する場合となる。

このときの点 $A$ は、$u_1 = \sqrt{2-u_1^2} \Rightarrow 2u_1^2 = 2$ となり、前提条件より、$(1, 1)$ となる。
同様に点 $B$ は $(3, 3)$ となり、上記式が最小値になるときの $(u, v)$ は各々 $(1, 3)$ となる。

したがって、 \[(1-3)^2+\Big(\sqrt{2-1^2}-\frac{9}{3}\Big)^2 = 4+(1-3)^2 = 4+4=8\] となり、上記式の最小値は $8$ である。